対数美的曲線

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2013年07月29日

「対数美的曲線」の紹介

吉田典正(norimasa @ cit.nihon-u.ac.jp)(日本大学)
斎藤隆文(txsaito @ cc.tuat.ac.jp)(東京農工大学)
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*「対数美的曲線」は,以前は,「美的曲線」または「美しい曲線」と呼んでいました.
関連研究を追加しました.

対数美的曲線の概要は、こちらをご覧ください。


The family of Aesthetic Curves

美的曲線を紹介するビデオ(DivX形式)

研究論文

  1. Norimasa Yoshida, Ryo Fukuda, Toshio Saito and Takafumi Saito, Quasi-Log-Aesthetic Curves in Polynomial Bézier Form, Computer-Aided Design and Applications, Vol. 10, No. 6, pp. 983-993, 2013.
  2. D. S. Meek, T. Saito, D. J. Walton, N. Yoshida, Planar two-point G1 Hermite interpolating log-aesthetic spirals, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 236, Issue 17, Pages 4485–4493, November 2012.
  3. 斎藤隆文,吉田典正,3次パラメトリック曲線の曲率変化の美的解析, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会,Vol.2012-CG-148, No. 1, pp.1-6, 2012
  4. N. Yoshida, T. Saito, The Evolutes of Log-Aesthetic Curves and The Drawable Boundaries of The Curve Segments, Computer-Aided Design and Applications, Volume 9, Number 5, pp. 721-731, 2012
  5. R. Ziatdinov, N. Yoshida, T. Kim, Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions, Computer Aided Geometric Design, Volume 29, Issue 2, pp.129-140, February 2012.
  6. N. Yoshida and T. Saito, Some characteristics of log-aesthetic planar curves, SIAM Conference on Geometric and Physical Modeling (GD/SPM11), 2011.
  7. N. Yoshida, R. Fukuda, T. Saito, T. Saito, Compound-rhythm Log-aesthetic Space Curve Segments, Computer-Aided Design and Applications, Vol. 8, No.2, pp.315-324, 2011
  8. 福田 諒, 吉田 典正,  齋藤敏雄, 斎藤隆文, Taylor展開を用いた対数美的平面曲線のBezier曲線近似, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会, Vol.2011-CG-142, No. 11, 2011.
  9. N. Yoshida, R. Fukuda, T. Saito, Interactive Generation of 3D Class A Bezier Curve segments, Computer-Aided Design and Application, Vol. 7, No.2, pp.163-172, 2010.
  10. 福田諒,吉田典正,斎藤隆文, Class A Bezier 空間曲線の対話的生成と典型的空間曲線の性質, 76巻5号, 精密工学会誌, pp.587-591, 2010.
  11. R. Fukuda, N. Yoshida, T. Saito, Interactive Generation of Compound-Rhythm Log-Aesthetic Space Curves, Image Electronics and Visual Computing Workshop, 3B-4, 2010.
  12. N. Yoshida, R. Fukuda, T. Saito, Log-Aesthetic Space Curve Segments, SIAM/ACM Joint Conference on Geometric and Physical Modeling (GDSPM), pp.35-46 2009.
  13. [吉田09c]N. Yoshida, R. Fukuda, T. Saito, Logarithmic Curvature and Torsion Graphs, to appear.
    This paper introduces logarithmic curvature and torsion graphs for analyzing planar and space curves. We present a method for drawing these graphs from any differentiable parametric curves and clarify the characteristics of these graphs. We show several examples of theses graphs drawn from planar and 3D Bezier curves. From the graphs, wecan see some interesting properties of curves that cannot be derived fromthe curvature or torsion plots.
  14. [吉田09b] 吉田典正,福田諒,斎藤隆文, 対数美的空間曲線セグメントの対話的生成法, Visual Computing/グラフィクスとCAD合同シンポジウム, to appear.
  15. [吉田09a]N. Yoshida, T. Saito, Compound-Rhythm Log-Aesthetic Curves, Computer-Aided Design and Applications,Vol. 6, No.2, pp.243-252, 2009.[pdf]
    This paper presents an efficient and stable method for drawing compound-rhythm log-aestheticcurves. Compound-rhythm curves are curves whose logarithmic curvature graphs are represented by V-typeor upside down V-type segments. We show that,once the continuity condition is derived, compound rhythmcurves can beefficientlygeneratedin a similar manner to generatingmonotonic rhythm curves. We also present a method for drawingcompound-rhythm curves by specifying two endpoints, their tangential directions,$\alpha_0$and $\alpha_1$(which arethe slopes of logarithmic curvature graphs) and the ratio $r_{\theta}$of the change of the tangential angle of the curve $\alpha_0$ to the change of the tangential angle of the whole curve. [吉田08b]吉田典正,斎藤隆文,美的曲線の全体像と美的曲線セグメント(2.3節),デジタルスタイルデザイン,精密工学会デジタルスタイルデザイン研究分科会編,海文堂, 2008.
  16. [吉田08a]吉田典正, 斎藤隆文,対数美的曲線における複合リズム曲線の生成, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会, Vol.2008, No.109, pp.79-84, 2008.
    本報告では,対数美的曲線における複合リズム曲線(曲率対数グラフがV字型もしくはへの字型の2 直線であらわされる曲線)を,従来の対数美的曲線生成と同様な二分法による探索によって効率的かつ安定に生成することができることを示す.具体的には,複合リズム曲線を,両端点の位置と接線方向(すなわち,3点),曲率対数グラフの傾きα1, α2, および両者の曲線方向角変化の比率(曲線全体の方向角の変化に対するα1 の曲線の方向角の変化の割合)を指定することによって描く手法を示す.
  17. [吉田07d]吉田典正,斎藤隆文, 美的空間曲線の全体像の解明, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会 Vol.2007, NO.111, pp-55-60, 2007.
    本報告では,曲率変化および捩率変化が単調な曲線である美的空間曲線の全体像を解明する.美的空間曲線は,美的曲線における曲率半径と弧長の関係式を,捩率半径と弧長の関係式にも利用することによって定義する.美的空間曲線の分類は,曲率および捩率が0 または∞ の点までの弧長の長さ,またそれらの点において,接線ベクトル方向および従法線ベクトル方向が定まるか無限に回転するかなどに応じて行う.また,すべての美的曲線が円と関連しているのと同様に,すべての美的空間曲線が常螺旋と関連していることを示す.
  18. [吉田07c] Norimasa Yoshida and Takafumi Saito, Classification of Aesthetic Space Curves, SIAM Conference on Geometric Design and Computing, 2007.
  19. [吉田07b] N. Yoshida and T. Saito, Quasi-Aesthetic Curves in Rational Cubic Bezier Forms, Computer-Aided Design & Applications, Vol. 4, Nos. 1-4, pp.477-486, 2007.[PDF]
    Abstract: Designing aesthetically appealing models is vital for the marketing success of industrial products. In this paper, we propose quasi-Aesthetic Curves that can be used in CAD systems for aesthetic shape design. Quasi-Aesthetic Curves represented in rational cubic Bezier Forms are curves whose logarithmic curvature histograms (LCHs) become nearly straight lines. The monotonicity of curvature of quasi-Aesthetic Curves is checked by the proposed method. We generate quasi-Aesthetic Curves by approximating the Aesthetic Curves whose LCHs are strictly represented by straight lines. We show that one Aesthetic Curve segment whose change of tangential angle is less than 90 deg. can be replaced by one quasi-Aesthetic Curve segment guaranteeing the monotonicity of the curvature in most of practical situations.
  20. [吉田07a] 吉田典正,斎藤隆文,平岩智之,曲率単調な曲線セグメントの対話的制御,Visual Computing/グラフィクスとCAD合同シンポジウム, pp.19-24, 2007. [PDF]Abstract: 本報告では,擬似美的曲線及び典型的なClass A Bezier曲線の対話的な制御法を提案する.疑似美的曲線は,美的曲線を有理3次Bezier曲線によって近似表現したものであり,曲率対数分布図の直線性がほぼ保たれる曲線である.疑似美的曲線の曲率単調性を確認するため,有理3次Bezier曲線の曲率単調性を確認する条件式を導く.典型的Class A Bezier曲線は,曲率の単調性が保証される多項式Bezier曲線であるが,描いてみないと終点がどこに来るのか分らないなどの対話的な制御性に欠ける.そこで,美的曲線と同様に3点によって対話的に制御する手法を構築した.また,典型的Class A Bezier曲線の描画可能領域を明らかにするとともに,典型的Class A Bezier曲線の次数nを高くしていくと美的曲線の特殊な場合(α=1)である対数螺旋に近づくことを示す.最後に曲率単調な曲線セグメントの対話的制御性について総括し,今後の研究の方向性についても論じる
  21. [吉田06c]吉田典正,斎藤隆文: 美的曲線の有理3次Bezier近似, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会, Vol. 2006, No. 199, pp.25-30, 2006.[PDF]

    Abstract: 美的曲線は,曲率変化の単調な美しい曲線であるが,積分形式で表されるため従来のCAD システムとの互換性を持たず,特別な形式で表現しなければならない.本報告では,一つの美的曲線セグメントを,曲率の単調性を保証した一つの有理3 次Bezier 曲線に近似する手法を提案する.曲率の単調性を保証するために,有理3 次Bezier 曲線の曲率の単調性を確認する手法についても述べる.また,提案手法を実装し,種々の美的曲線セグメントに適用したところ,方向角の変化が90 度以内の場合に,一つの美的曲線セグメントを曲率の単調性を保ちながら一つの有理3 次Bezier 曲線セグメントに近似できることを確認した.
  22. [吉田06b] N. Yoshida and T. Saito, Interactive Aesthetic Curve Segments, The Visual Computer (Pacific Graphics), Vol. 22, No.9-11, pp.896-905, 2006.[PDF]
    Abstract: To meet highly aesthetic requirements in industrial design and styling, we propose a new category of aesthetic curve segments. To achieve these aesthetic requirements, we use curves whose logarithmic curvature histograms(LCH) are represented by straight lines. We call such curves aesthetic curves. We identify the overall shapes of aesthetic curves depending on the slope of LCH $\alpha$, by imposing specific constraints to the general formula of aesthetic curves. For interactive control, we propose a novel method for drawing an aesthetic curve segment by specifying two endpoints and their tangent vectors. We clarify several characteristics of aesthetic curve segments.
  23. [吉田06a] 吉田典正,斎藤隆文: 美しい曲線の全体像解明と対話的制御,VC/GCAD合同シンポジウム, pp.77-82, 2006.[PDF][Video(DivX形式)]
    Abstract: 本論文では,工業デザインやスタイルデザインにおける高いレベルの美しさに対する要求に答えることのできる新しいカテゴリの「美的曲線セグメント」を提案する.人工物や自然界における「美的曲線」の多くは, 曲率対数分布図が直線で近似できることが原田らにより指摘されている.本研究では,曲率対数分布図が直線で表すことのできる曲線を「美的曲線」と呼ぶ.三浦らは美的曲線の一般式を示しているが,曲線を描くこと自体が自明でなく,また曲線の性質も明らかになってはいない.本研究では,美的曲線の全体像を解明し,さらに,美的曲線の縮閉線もまた美的曲線であることを示す.また,美的曲線を対話的に制御するために,2つの端点とそれらの点での接線方向を指定することによって美的曲線セグメントを描く手法を提案する.すなわち,美的曲線は,曲率対数分布図における直線の傾きαを指定すると,3個の制御点によって2次Bezier 曲線と同様に制御をすることが可能である.美的曲線セグメントの描画には数値積分が必要であるが,十分に対話的な速度で描画することができることも示す.
    この論文では,[吉田05a]と異なり,方向角でははなく,新たに導入したパラメータΛによって,曲線セグメントを探索しています.Λ=0の場合に,円弧が正確に表現できるという特徴があります.また,美的曲線の縮閉線の性質や反射線による評価も行っています.
  24. [吉田05a] 吉田典正,斎藤隆文: 美しい曲線セグメント, 情報処理学会グラフィクスとCAD研究会, No. 121, pp.97-102, 2005. [PDF]
    Abstract: 人工物や自然界における「美的曲線」の多くは, 曲率対数分布図が直線で近似できることが原田らにより指摘されている.三浦は美的曲線の弧長による一般式を示しているが,曲線を描くためには数値積分を行わなければならず,曲線形状の対話的なコントロールが困難である.本報告では,「美的曲線」を方向角と弧長のそれぞれで定式化するとともに,曲率対数分布図における直線の傾きが変化したときの美的曲線の性質を明らかにし, αに対するその形状変化の様子を示す.また,曲線形状を対話的にコントロールするために,セグメントの両端点とそこでの接線方向を指定し,美的曲線セグメントを描画する手法を提案する.

  • この論文では,美的曲線の全体像を解明するとともに,方向角を変化させることにより美的曲線全体の中から曲線セグメントを探索し描画する手法を提案しています.上の画像をクリックするとビデオが再生されます.

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  1. 平岩智之, 吉田典正, 斎藤隆文, 一般的なClass A Bezier曲線の対話的生成, 精密工学会秋期大会学術講演会, pp.353-354, 2007.
  2. 斎藤隆文, 吉田典正, 加世田匠, 宮村(中村)浩子, 反射変曲関数: 意匠曲面評価のための反射形状歪みの統一的解析理論, Visual Computing/グラフィクスとCAD合同シンポジウム, pp.291-296, 2007.
  3. 平岩智之,吉田典正,斎藤隆文: 平面Class A Bezier曲線の対話的制御, 情報処理学会第69回全国大会, 2007.